La resolución de problemas relacionados con las sucesiones geométricas es una habilidad fundamental en el campo de las matemáticas. Estas secuencias numéricas, en las que cada término se obtiene al multiplicar el anterior por una constante llamada razón, aparecen frecuentemente en diversos contextos matemáticos y en situaciones de la vida real. Sin embargo, determinar elementos específicos dentro de ellas, como el primer término (a1) y la razón (r), puede presentar dificultades para quienes están familiarizándose con estos conceptos. En este artículo, abordaremos cómo calcular estos componentes esenciales de una sucesión geométrica, proporcionando una guía clara y detallada que resolverá las posibles dudas surgidas al enfrentarse a este tipo de ejercicios.
Paso 1: entender la ecuación del término enésimo
Para comenzar, es esencial comprender la fórmula general de la sucesión geométrica, la cual es an = a1 * rn-1, donde an es el término enésimo, a1 el primer término, r la razón y n la posición del término dentro de la sucesión.
Identificando los términos conocidos
Con base en la información proporcionada, identificamos los términos conocidos de la sucesión, como el segundo término (a2) y el quinto término (a5), que son 10 y 80, respectivamente. Con estos datos, podemos plantear las ecuaciones correspondientes a estos términos utilizando la fórmula general.
Paso 2: plantear las ecuaciones para los términos conocidos
Se plantean dos ecuaciones basadas en los términos conocidos:
- a2 = a1 * r2-1 = a1 * r
- a5 = a1 * r5-1 = a1 * r4
Expresiones para a2 y a5
Las ecuaciones anteriores nos dan las expresiones para calcular a1 y r, las cuales serán la base para los siguientes pasos.
Paso 3: división de términos para encontrar la razón (r)
Para encontrar la razón de la sucesión, dividimos a5 entre a2, lo cual simplifica la ecuación eliminando a1 y nos permite resolver para r:
80 / 10 = a1 * r4 / (a1 * r) = r4-1 = r3
Calculando la razón (r)
Al realizar la división de 80 entre 10, obtenemos que r3 es igual a 8. Extrayendo la raíz cúbica de 8, encontramos que r es igual a 2.
Paso 4: despejar el primer término (a1)
Con la razón ya calculada, podemos regresar a cualquiera de las ecuaciones iniciales para despejar y calcular a1. Usamos la ecuación más sencilla, en este caso, la de a2:
10 = a1 * 2
Encontrando el primer término (a1)
Dividimos ambos lados de la ecuación por 2 para obtener a1, lo que nos da un primer término de 5.
Resolución de ejemplos adicionales
Es posible aplicar este proceso a otros ejemplos con diferentes términos conocidos. Repitiendo los pasos de plantear ecuaciones, dividir términos para encontrar la razón, y despejar para el primer término, podemos abordar cualquier sucesión geométrica con los datos adecuados.
Utilizando este método sistemático, podemos resolver eficazmente problemas de sucesiones geométricas, hallando el primer término y la razón con facilidad. Este conocimiento no solo es útil para ejercicios académicos, sino que también fortalece nuestra comprensión y manejo de secuencias numéricas en diversas aplicaciones prácticas.
